Nathanson 高度与 Cayley 图的 CSS 猜想

设 $G$ 为有限有向图，$\beta(G)$ 为边子集 $X$ 的最小规模，使得图 $G' = (V,E \smallsetminus X)$ 为有向无环图，$\gamma(G)$ 为将 $G$ 中每条有向边替换为无向边后所得无向图中不相邻顶点对的数量。Chudnovsky、Seymour 和 Sullivan \cite{CSS07} 证明了若 $G$ 为无三角形图，则 $\beta(G) \leq \gamma(G)$。他们猜想了一个更紧的界（即所谓的“CSS 猜想”）：$\beta(G) \leq \dfrac{\gamma(G)}{2}$。Nathanson 和 Sullivan 在 \cite{NS07} 中通过引入“高度”，在 $N$ 为素数时验证了有向 Cayley 图 $\Cay(\bbZ/N\bbZ, E_A)$ 的该猜想，其中顶点集为加法群 $\bbZ/N\bbZ$，边集 $E_A$ 由 $E_A = {(x,x+a) : x \in \bbZ/N\bbZ, a \in A}$ 确定。在本文中，我们将高度的定义以及 $\Cay(\bbZ/N\bbZ, E_A)$ 上 CSS 猜想的证明推广至任意正整数 $N$。