12音平均律下的音程：一种几何解释

在12音平均律下以半音倍数表示的音程，或更具体地具有给定基数（$n$-和弦）的音级子集，被构想为欧几里得 $n$ 空间中的正整数点。不同 $n$-和弦的数量由组合学推导，并扩展到 $n=0$，涉及欧几里得 0-空间。重复 $n$-和弦的数量，即在坐标的循环置换 $T_n$ 中变为自身的点，由代数考量推导。最后，确定了 $n$-和弦的总数以及 $T_n$ 集合类的总数。回文与伪回文 $n$-和弦被定义并归入重复 $n$-和弦，关于等价关系 $T_n/T_nI$，其中反射被加到循环置换中。就此而言，推导了涉及回文与伪回文 $n$-和弦以及其余 $n$-和弦的 $T_n$ 集合类数量。上述结果在几何解释框架内重现，其中与基数 $n$ 的 $n$-和弦相关的正整数点属于正则倾斜 $n$-面体 $\Psi_{12}^n$，其顶点位于笛卡尔正交参考坐标系的坐标轴上，距原点距离 $x_i=12$，$1\le i\le n$。将 $\Psi_{12}^n$ 视为格点多面体的特例，为完整性也确定了相关非负整数点的数量。并与群论推导的结果进行了比较。