音乐的距离几何

我们展示了经典欧几里得算法与许多其他研究领域之间的关系,特别是在音乐和距离几何的语境下。具体而言,我们揭示了欧几里得算法的结构如何定义一族节奏,其中涵盖了来自世界传统音乐的四十余种节拍型(\emph{固定音型})。我们证明,这些\emph{欧几里得节奏}具有如下数学性质:其起始点模式尽可能均匀地分布——将起始点视为圆上的点时,它们使所有起始点对之间欧几里得距离之和最大化。事实上,欧几里得节奏是使这种\emph{均匀性}达到最大值的唯一节奏。我们还证明,本质上所有欧几里得节奏都是\emph{深节奏}:起始点之间每个不同的距离仅出现唯一的重数,且这些重数构成区间 $1,2,...,k-1$。最后,我们刻画了所有深节奏,证明它们构成生成节奏的一个子类,由此证明了一个有用的性质——分层性(shelling)。我们关于音乐节奏的所有结果同样适用于音乐音阶。此外,我们所探讨的许多问题本身作为圆上的距离几何问题也饶有趣味;其中一些问题 Erd\H{o}s 曾在平面上研究过。