复杂调性的数学基础
声音
2023-07-11 v4 音频与语音处理
数论
摘要
十二平均律中半音以 2^{1/12}:1 的无理比调音，最好视作牺牲纯净换取灵活的权宜妥协。纯律中音程由 2、3、5 的幂乘积给出，更自然但灵活性有限。我们提出一新方案，以高斯整数之比作为抽象调性系统基础。纯律中棘手的三全音含糊地由 45/32、64/45、36/25、25/18 给出，皆不令人满意，而在我们的方案中以复数比 1+i:1 表示。大、小全音分别由 9/8 与 10/9 音程给出，可各自分解为复数半音乘积，得到大复数半音 3/4(1+i) 与小复数半音 1/3(3+i)。纯三度由 5/4 音程给出，可分解为复数全音 1/2(1+2i) 与其复共轭之积。辅以这些补充音，基于高斯素数低幂乘积的复数音程方案导致构建所有调的完整大、小音阶系统。
引用
@article{arxiv.2208.04974,
title = {Mathematical Foundations of Complex Tonality},
author = {Jeffrey R. Boland and Lane P. Hughston},
journal= {arXiv preprint arXiv:2208.04974},
year = {2023}
}
备注
35 pages, to appear in Journal of Mathematics and Music