$\mathbb{Z}_n$ 中基数为 5 的同距子集：分类与计数

若两个 $\mathbb{Z}_n$ 的子集具有相同的两两循环（即 Lee）距离的多重集，则称其为同距子集。同距子集必然具有相同的基数，即 $k$。本文对所有正整数 $n$ 的 $\mathbb{Z}_n$ 中基数为 $k=5$（相对于循环平移和反射）的同距子集进行分类。我们的分类包含六个同距对的家族和一个同距三元组的家族。我们还给出一个闭式生成函数，计数这些同距对和三元组的所有 $n$。作为本结果的直接应用，可获得针对由 $k=5$ 个原子构成的二进制信号在晶体学相位检索问题中的可解性的显式准则。$k \leq 4$ 的相同问题由 Erd\H{o}s 部分解决，最终由 Rosenblatt-Berman (1984) 完全解决，后者指出对于 $k \geq 5$，该问题似乎非常困难。等价地，从微调乐理的语言看，我们的结果解决了 Z-related 五度音阶的分类问题。