Quot 概形不动点轨迹上的墨菲定律

令 $T := \mathbb{G}_m^d$ 为通过 $\mathbb{A}^d$ 上的标准作用作用于点的 Quot 概形 $\coprod_n \mathrm{Quot}_{\mathcal{O}^r/\mathbb{A}^d/\mathbb{Z}}^n$ 的环面。我们分析该作用下的 Quot 概形的不动点轨迹。特别地,我们证明当 $d \leq 2$ 或 $r \leq 2$ 时,该轨迹是光滑的;而当 $d \geq 4$ 且 $r \geq 3$ 时,它满足由 Vakil 引入的墨菲定律,即具有任意坏的奇点。这些结果通过将不动点轨迹分解为连通分支,并将这些分支等同于 $\mathbb{P}^{r-1}$ 的子空间关联概形而得到。随后,我们依据其关联关系的图,给出了所出现关联概形的一个刻画。