二维与三维湍流中平面环路的精确面积律

我们研究面积律解 \cite{M93}、\cite{M19a}、\cite{M19b} 中极小曲面的性质。我们发现面积律对二维湍流以及高维中任意平面环路均精确成立。这依赖于我们先前结果 $\alpha = \frac{1}{2}$，在此情形下环流二阶矩可证约化为平面环路所围面积。在 $d=3$ 时，我们论证了极小曲面解如何借助极小曲面上平均曲率为零精确满足斯托克斯条件 $\partial_i \omega_i(r)=0$。为满足平面环路之外的环路方程，我们引入曲面上自洽共形度量，其旨在保持斯托克斯条件但补偿环路方程中的各项。我们导出该共形度量作为曲面上点的函数的非线性积分方程。