基于 Wasserstein 距离的多元拟合优度检验

针对涉及一般多元分布的简单与复合原假设，提出了基于经验 Wasserstein 距离的拟合优度检验。对于群族，该过程需在通过不变性对数据进行初步约化后实施。此性质使得可在有限样本量下计算精确的临界值与 p 值。应用包括检验位置—尺度族，以及检验由仿射变换产生的族，如具有给定标准径向密度与未定位置向量和散布矩阵的椭圆分布。作为特例，产生了一种针对均值向量与协方差矩阵均未定的多元正态性的新检验。对于更一般的参数族，我们提出用参数自助法计算临界值。经验 Wasserstein 距离缺乏渐近分布理论，意味着在原假设下参数自助法的有效性仍属猜想。尽管如此，我们证明该检验对固定备择假设是一致的。为此，我们证明了经验分布在 Wasserstein 距离下的均匀大数定律，其中均匀性针对任何满足一致可积条件但无额外矩假设的底分布类。检验统计量的计算归结为求解熟知的半离散最优传输问题。大量数值实验证明了所提检验在 p = 1 与 p = 2 阶 Wasserstein 距离下以及维度至少至 d = 5 时的实际可行性与优异表现。仿真亦支持了参数自助法渐近有效性的猜想。