多辛几何、变分积分器与非线性偏微分方程

本文提出一种用于连续与离散力学及场论的几何-变分方法。利用多辛几何，我们表明基本几何结构的存在性及其沿解保持可直接由变分原理得到。特别地，我们证明通过对作用量函数求导可获得唯一的多辛结构，并利用该结构证明辛保持与 Noether 定理的协变推广。随后，通过选取离散作用量泛函，可得到具有这些重要保持性质的 PDE 的自然离散化格式。在力学情形，我们恢复 Veselov 型的变分辛积分器；而对于 PDE，我们得到协变时空积分器，其保持相应的离散多辛形式以及与对称性对应的离散动量映射。我们表明，沿无穷维场空间的通常辛性概念可通过时空分裂自然得到。我们方法的所有方面均通过非线性 sine-Gordon 方程演示，包括计算结果及与其他离散化格式的比较。