基于变分积分器与离散微分形式的几何计算电动力学

本文发展了一种电磁学拉格朗日框架的保结构离散化方法，结合了变分积分器与离散微分形式技术。由此导出一类通用的变分多辛数值方法用于求解 Maxwell 方程组，该方法能自动保持关键对称性与不变量。在此过程中，我们展示了若干新结果，这些结果既适用于一些已确立的数值方法，也适用于本文引入的新方法。首先，我们证明了 Yee 的时域有限差分 (FDTD) 方案及若干相关方法具有多辛性，且源于离散拉格朗日变分原理。其次，我们将 Yee 方案推广至非结构化网格，不仅限于空间，更扩展至四维时空。这放松了对均匀时间步长的需求，甚至不再需要首选的时间坐标。最后，作为可在该通用框架下发展的方法示例，我们引入了一种用于求解 Maxwell 方程组的新型异步变分积分器 (AVI)。通过一些原型模拟展示了这些结果，表明即使在具有异步时间步长的不规则网格上，该方法也表现出优异的能量守恒特性且无虚假模式。