Noether定理现代形式向非变分偏微分方程的推广
数学物理
2020-08-25 v2 math.MP
摘要
回顾并进一步以几种方式发展了使用乘子寻找任意偏微分方程(PDE)系统守恒积分的通用方法。乘子是一些表达式，其与PDE(系统)的(求和)乘积产生一个局部散度恒等式，该恒等式具有连续性方程的物理意义，涉及PDE(系统)解的守恒密度和空间通量。在空间域上，连续性方程的积分形式产生守恒积分。当PDE(系统)为变分系统时，乘子对应于变分原理的对称性，并且将乘子与守恒积分关联的局部散度恒等式与Noether定理中用于将守恒积分联系到变分原理不变性的变分恒等式相同。从该视角，乘子方法被表明构成了不使用变分原理的Noether定理的现代形式。当PDE(系统)为非变分时，乘子被表明为对称性的伴随对应，并且将乘子与守恒积分关联的局部散度恒等式被表明为Noether定理基础变分恒等式的伴随推广。针对具有主导导数求解形式（涵盖所有具有物理意义的典型PDE）的PDE系统，建立了两个主要结果。首先，考虑到某些等价自由，所有非平凡守恒积分被表明以一一对应的方式产生于非平凡乘子。其次，推导了基于量纲分析的标度公式，以仅使用相应乘子和给定PDE系统来获得任何守恒积分中的守恒密度和空间通量。推导使用了变分微积分的一些基本工具，并提供了自包含的表述。
引用
@article{arxiv.1605.08734,
title = {Generalization of Noether's theorem in modern form to non-variational partial differential equations},
author = {Stephen C. Anco},
journal= {arXiv preprint arXiv:1605.08734},
year = {2020}
}
备注
51 pages. Revised version, with corrected examples. To appear in: Recent progress and Modern Challenges in Applied Mathematics, Modeling and Computational Science, Fields Institute Communications, Volume 79 (2017)