随机高阶热方程解的多尺度渐近行为

本文研究具有随机初始条件的高阶偏微分方程，这些初始条件具有长期记忆和循环行为。我们考察具有谱奇异点的随机初始条件的情况，这些奇异点既可能出现在零频率处（代表经典的长程依赖），也可能出现在非零频率处（代表循环的长程依赖）。通过谱方法和缩放技术，我们证明经过适当的尺度变换和归一化后，解收敛于高斯随机场。对于每种类型的方程，给出谱表示和极值函数。对于高阶方程，我们应用解的核平均以获得非爆炰且非退化的极限。我们表明，不同的极限场由方程的奇偶阶数以及是否存在零处的谱奇异点所决定。若干数值例子阐释了所得理论结果。