量子仿射gl_n的乘法公式与典范基

我们将给出循环箭图 $\Delta(n)$ 的 Ringel-Hall 代数 ${\frak H}_\Delta(n)$ 中乘法公式（见 \cite[Thm~4.5]{DuFu2015quantum}）的表示论证明。作为首个应用，我们立即看到循环箭图的 Hall 多项式的存在性（这一事实在 \cite{Guo1995hallpoly} 和 \cite{Ringel1993composition} 中已确立），并推导出计算它们的递归公式。我们将进一步利用该公式以及 \cite{DengDuXiao2007generic} 中给出的 ${\mathfrak H}_\Delta(n)$ 的某种单项基的构造，结合 \cite{DengDuFu2012double} 中量子圈代数 $U_v(\hat{gl}_n)$ 的双 Ringel--Hall 代数实现，来发展一些算法并计算 $U_v(\hat{gl}_n)^+$ 的典范基。作为例子，我们将明确展示量子群 $U_v(\hat{gl}_n)$ 的 Lowey 长度至多为 $2$ 的模所对应的典范基的部分。