Dynkin 箭图的乘性预射影代数

对于交换环 $R$ 和 ADE 型 Dynkin 箭图 $Q$，我们证明：Crawley-Boevey 与 Shaw 的乘性预射影代数在参数 $q=1$ 时，作为 $R$-代数同构于（加性）预射影代数，当且仅当 $Q$ 的坏素数（D 型为 2，对 $Q = E_{6}$、$E_{7}$ 为 2 和 3，对 $Q= E_{8}$ 为 2、3 和 5）在 $R$ 中可逆。我们在 $\mathbb{Z}[1/2]$ 上构造了 D 型的显式同构，在 $\mathbb{Z}[1/2, 1/3]$ 上构造了 $Q = E_{6}$、$E_{7}$ 的同构，在 $\mathbb{Z}[1/2, 1/3, 1/5]$ 上构造了 $Q=E_{8}$ 的同构。反之，若某个坏素数在 $R$ 中不可逆，我们证明加性与乘性预射影代数在零阶 Hochschild 同调上不同，从而不同构。事实上，只需利用乘性预射影代数零阶 Hochschild 同调中某些类的消失，并结合一个可能有独立意义的同构刚性化论证即可。在 Ginzburg dg-代数框架下，我们的阻碍在 E 型中是新的，并为 Etgü--Lekili arXiv:1502.07922 在 D 型中的否定结果给出了更初等的证明。此外，由 Van den Bergh 对偶性，乘性预射影代数的零阶 Hochschild 同调可解释为乘性 Ginzburg dg-代数的无阻碍形变空间。最后，我们观察到当 $Q \neq A_1$ 时乘性预射影代数不是对称 Frobenius 的，这不同于在特征 2 下对 $Q = D_{2n}$（$n \geq 2$）和 $Q =E_{7}$、$E_{8}$ 的加性预射影代数。