具有超临界增长的耦合梯度型拟线性椭圆组的多重解

在本文中，我们考虑如下耦合梯度型拟线性椭圆组 \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} - {\rm div} ( a(x, u, \nabla u) ) + A_t (x, u, \nabla u) = G_u(x, u, v) &\hbox{ in $\Omega$,}\\[10pt] - {\rm div} ( b(x, v, \nabla v) ) + B_t(x, v, \nabla v) = G_v\left(x, u, v\right) &\hbox{ in $\Omega$,}\\[10pt] u = v = 0 &\hbox{ on $\partial\Omega$,} \end{array} \right. \end{equation*} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的有界开区域，$N\ge 2$。我们假定存在某些 $\mathcal{C}^{1}$-Carathéodory 函数 $A, B:\Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}$，使得 $a(x,t,\xi) = \nabla_{\xi} A(x,t,\xi)$，$A_t(x,t,\xi) = \frac{\partial A}{\partial t} (x,t,\xi)$，$b(x,t,\xi) = \nabla_{\xi} B(x,t,\xi)$，$B_t(x,t,\xi) =\frac{\partial B}{\partial t}(x,t,\xi)$，且 $G_u(x, u, v)$、$G_v(x, u, v)$ 是 $\mathcal{C}^{1}$-Carathéodory 非线性项 $G:\Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 的偏导数。粗略地说，我们假设 $A(x,t,\xi)$ 至少以 $(1+|t|^{s_1p_1})|\xi|^{p_1}$ 的速度增长，$p_1 > 1$，$s_1 \ge 0$，而 $B(x,t,\xi)$ 以 $(1+|t|^{s_2p_2})|\xi|^{p_2}$ 的速度增长，$p_2 > 1$，$s_2 \ge 0$，并且 $G(x, u, v)$ 也可具有与 $s_1$ 和 $s_2$ 相关的超临界增长。由于系数依赖于解及其梯度本身，需要研究在合适 Banach 空间中两种不同范数的相互作用。尽管存在这些困难，我们采用变分方法证明该系统存在非平凡弱有界解，并且在对称性假设下存在无穷多个解。