无限尖峰神经元系统的多重相变

我们考虑一个随机模型，描述按度为 $d$ ($d \geq 2$) 的齐次树空间组织的可数神经元集合的尖峰活动；一个神经元的度仅为其连接数。粗略而言，模型如下。每个神经元由其膜电位表示，取非负整数值。若膜电位严格为正，神经元以泊松率 1 发放尖峰。当尖峰发生时，发放神经元的电位变为 0，所有与之相连的神经元获得一定量的电位。此外，在连续尖峰之间且未接收到其他神经元的任何尖峰输入时，每个神经元的电位独立地表现为死亡率为 $\gamma \geq 0$ 的纯死亡过程。本文中，我们证明若连接数 $d$ 足够大，则过程根据死亡率 $\gamma$ 的选择呈现至少两次相变：对于较大的 $\gamma$ 值，神经尖峰活动几乎必然灭绝；对于较小的 $\gamma$ 值，某个固定神经元以正概率无限次发放尖峰；而对于“中间”的 $\gamma$ 值，系统以正概率始终呈现尖峰活动，但个体上每个神经元最终停止发放并永远保持静息。