多维连分数与环面平移的符号编码

为 $d$ 维环面上的平移寻找具有 Sturmian 序列般优美性质（如低因子复杂度与良好局部偏差性质）的良好符号编码，是一个长期未决的问题。受 Rauzy 方法启发，我们用由替换序列实现的多维连分数算法构造此类编码。特别地，给定任意指数收敛的连分数算法，这些序列可导出重整化格式，从而自然地在所有尺度上产生环面平移的符号编码与有界余数集。连分数算法的指数收敛性质可视为附加符号动力系统上施加的 Pisot 型条件。利用这一事实，我们的方法为确认广泛类别符号动力系统的纯离散谱结果提供了系统性途径。事实上，正如我们的例子所示，我们得以确认许多著名替换序列族的 Pisot 猜想。这些例子包括 Jacobi--Perron、Brun、Cassaigne--Selmer 与 Arnoux--Rauzy 等经典算法。作为推论，我们获得了几乎所有 $2$ 维环面平移的符号编码，其因子复杂度为 $2n+1$ 且对词平衡，从而导出多尺度有界余数集。利用 Brun 算法，我们还给出了几乎所有 $3$ 维环面平移具有多尺度有界余数集的符号编码。