多涡旋与二维 Navier--Stokes 方程吸引子维数的下界
偏微分方程分析
2025-07-08 v1
摘要
我们提出了一种全新的方法，这种方法不基于柯尔莫戈普流（Kolmogorov flows），用于获取与流体力学相关方程吸引子维数的下界，并将其应用于有界域中的经典二维 Navier--Stokes 方程以及整平面上的带埃克曼阻尼的 Navier--Stokes 方程。在有界域的情况下，我们给出类似于 torus 和 sphere 上已知估计的下界；在整平面情况下，我们的估计是尖锐的。请注意，在这两个案例中之前都没有 known 的下界。我们建议使用所谓的多涡旋（multi-vortex），即由 M.M. Vishik 构造的 well-separated Vishik 涡旋（即在空间上局部化的受谱不稳定流）作为柯尔莫戈普流的类比。也请注意，该方法复现了 torus 上的已知结果，并且适用于许多其他流体力学方程。
引用
@article{arxiv.2507.04645,
title = {Multi-vortices and lower bounds on the attractor dimensions for 2D Navier--Stokes equations},
author = {Anna Kostianko and Alexei Ilyin and Dominic Stone and Sergey Zelik},
journal= {arXiv preprint arXiv:2507.04645},
year = {2025}
}