三维指向子场的活动标架与相容条件

指向子场（director field）所嵌入区域的几何与拓扑对所能支持的取向序施加了限制。这些限制表现为相容条件，将描述指向子场的量与嵌入空间的几何联系起来。例如，在二维（2D）中，splay 场和 bend 场足以唯一确定（至多差一个刚体运动）一个指向子场，并且必须满足一个关于嵌入流形高斯曲率线性的关系。在 3D 中，存在额外的描述指向子场的局部场，即驻留在材料内部的局部观察者可用的场，以及多种产生几何阻挫的不同方式。迄今为止，尚不清楚需要多少这样的局部场才能唯一描述一个 3D 指向子场，也不清楚它们必须满足的相容关系是什么。本工作中，我们直接解决这些问题。我们采用活动标架（moving frames）方法证明，一个指向子场完全由五个局部场确定。这些场被证明通过六个微分关系彼此相关，并与嵌入空间的曲率相关。作为我们方法的一个应用，我们刻画了所有均匀畸变指向子场，即所有局部刻画场在空间上均为常数的指向子场，在常曲率流形中。此类相的分类近期已在欧氏空间中的指向子场上给出，其中纹理对应于空间被平行全等螺旋线的叶状结构。对于非零曲率，我们证明纯扭曲相（pure twist phase）是正曲率空间中唯一的解，而在双曲空间中均匀畸变场对应于空间被（未必平行的）全等螺旋线的叶状结构。进一步的析有望使我们也能构造新的非均匀指向子场。