平面体积-等容分解下 Morrey 猜想的第一部分：最弱凸能量函数

我们考虑 Morrey 的公开问题：在平面情形下，秩一凸性是否已经蕴含拟凸性。对于某些特定的能量族，已有精确条件表明秩一凸性甚至蕴含多凸性。我们将其中部分结果推广到更一般的能量族 $W:\operatorname{GL}^+(n)\rightarrow\mathbb{R}$，其具有加性体积-等容分解，即 $$W(F)=W_{\rm iso}(F)+W_{\rm vol}(\det F)=\widetilde W_{\rm iso}\bigg(\frac{F}{\sqrt{\det F}}\bigg)+W_{\rm vol}(\det F)\,,$$ 这是各向同性线性弹性的自然有限推广。我们的方法基于一个由 Knowles 和 Sternberg 的经典二维判据近期导出的秩一凸性条件，该条件由一族一维耦合微分不等式组成。我们识别出若干“最弱”秩一凸能量，并特别证明：对于体积部分为凹函数的平面体积-等容分解能量，秩一凸性是否蕴含拟凸性的问题可归结为秩一凸能量函数 $$W_{\rm magic}^+(F)=\frac{\lambda_{\rm max}}{\lambda_{\rm min}}-\log\frac{\lambda_{\rm max}}{\lambda_{\rm min}}+\log\det F=\frac{\lambda_{\rm max}}{\lambda_{\rm min}}-2\log\lambda_{\rm min}$$ 是否拟凸这一公开问题。此外，我们证明在仿射边界条件下，$W_{\rm magic}^+(F)$ 允许具有与齐次解相同能量水平的非平凡非齐次变形，并揭示了其与 Burkholder 和 Iwaniec 在复分析领域工作的惊人联系。