Moonshine 与 CP^2 的 Donaldson 不变量

Eguchi、Ooguri 和 Tachikawa 最近猜想了一种新的 moonshine 现象。他们猜想，源自 K3 曲面椭圆亏格（elliptic genus）的某个伪模形式（mock modular form）$H(\tau)$ 的系数，是 Mathieu 群 $M_{24}$ 的不可约表示维数之和。我们证明，$H(\tau)$ 令人惊讶地在 Donaldson 不变量理论中也起着重要作用。我们证明了针对 $H(\tau)$ 的 Moore-Witten u-平面积分即为 $\mathbb{CP}^2$ 的 $SO(3)$-Donaldson 不变量。这一结果进而暗示了一种 moonshine 现象，即这些不变量推测可表示为 $M_{24}$ 不可约表示维数的表达式。事实上，我们获得了用 $H(\tau)$ 的导数表示的 Donaldson 不变量生成函数 $Z(p,S)$ 的显式表达式。