随机游动中常返性的单调性、拓扑与凸性

我们考虑二维正象限 $\mathbb{N}^2$ 和一维板条 $\{0,1,\dots,k\}\times\mathbb{N}$ 上的非齐次随机游动。在 20 世纪 60 年代，针对 $\mathbb{N}^2$ 提出了以下问题：如果这样的随机游动 $X$ 是常返的，且 $Y$ 是另一个在每一点都比 $X$ 更可能向下和向左移动的随机游动（注：原文此处逻辑似有笔误，通常指 Y 比 X 更倾向回归，或对比对象表述需结合语境，此处依原文直译逻辑调整为：若 $X$ 常返且 $Y$ 在每点比 $X$ 更可能向下和向左移动，则 $Y$ 是否也常返？），那么 $Y$ 是否也是常返的？我们提供了一个例子表明答案是否定的。我们还通过耦合论证表明，如果随机游动 $X$ 或 $Y$ 足够齐次，那么答案实际上是肯定的。此外，我们利用 Rayleigh 单调性原理表明，树上随机游动的类似问题答案是肯定的。这些结果表明，产生常返随机游动的参数空间子集具有某些几何性质，在这种情况下是序理想的結構。受此视角的启发，我们考虑了有限生成阿贝尔群上齐次随机游动这一更对称的设定，并探讨该子集何时具有其他几何性质，即各种拓扑性质和凸性。我们回答了其中一些问题：特别是，我们表明该子集是闭集，并且在对称支撑条件下，表明它是路径连通的，此外还表明当且仅当其有效维数至多为 2 时它是凸的。我们还表明其补集在某种意义上通常是路径连通的但不是凸的。最后，我们提出了一些相关的开放问题。