修正贝塞尔函数之比与积的单调性及尖锐三角界

设 $I_{\nu}(x)$ 与 $K_{\nu}(x)$ 分别为第一类与第二类修正贝塞尔函数。本文证明，由 $x^{\alpha} \Phi_{i,\nu}(x)$（$i=1,2$）所满足的 Riccati 方程的零倾线给出其界，其中 $\Phi_{1,\nu}=I_{\nu-1}(x)/I_{\nu}(x)$、$\Phi_{2,\nu}(x)=-K_{\nu-1}(x)/K_{\nu}(x)$，这些界具有唯一的单调性；上述界至少在 $\pm \alpha\notin (0,1)$ 且 $\nu\ge 1/2$ 时成立。由此可得乘积 $P_{\nu}(x)=I_{\nu}(x)K_{\nu}(x)$ 的性质；例如，证明了当 $\nu\ge -1$ 时 $P_{\nu}(x)$ 递减（拓展了已知结果的范围），且当 $\nu\ge 1/2$ 时 $xP_{\nu}(x)$ 递增。我们还证明了双比 $W_{i,\nu}(x)=\Phi_{i,\nu+1}(x)/\Phi_{i,\nu}(x)$ 是单调的，且此类单调性为第一类与第二类修正贝塞尔函数所独有。由双比的单调性可提取出尖锐三角界。这些关于比值与乘积的三角界在 $x\rightarrow 0^+$、$x\rightarrow +\infty$ 及 $\nu\rightarrow +\infty$ 时非常精确，因为这些极限下幂级数展开的前两项均精确成立。