Kerr 度规下线性化 Einstein 方程的模态分析：大 $\mathfrak{a}$ 情形

我们给出了大 $\mathfrak{a}$ 情形下 Kerr 度规下线性化 Einstein 方程与 $1-$形式波动算子的模态解的完整分析。所谓模态解，是指形如 $e^{-it_*\sigma}\tilde{h}(r,\theta,\varphi)$ 的解，其中 $t_*$ 是合适的时间变量。相应的傅里叶变换后的 $1-$形式波动算子与线性化 Einstein 算子被证明在合适的函数空间之间为 Fredholm 算子，且 $\tilde{h}$ 必须位于这些算子的定义域中。这些空间是依照 Vasy 的一般框架构造的。当 ${\Im}\, \sigma\ge 0,\, \sigma\neq 0$ 时不存在模态解。对于 $\sigma=0$，模态解是 $1-$形式波动算子的 Coulomb 解，以及线性化 Einstein 方程情形下的线性化 Kerr 解加上纯规范项。若我们固定一个 De Turck/波映射规范，则线性化 Einstein 方程的零模态解位于一个固定的 $7-$维空间中。证明依赖于第三作者所证明的 Teukolsky 方程无模态解，以及 Aksteiner 等人给出的 Kerr 时空上线性化引力的规范不变量之完整分类。