最小偏差多窗谱估计

为多窗谱分析提出了两类正交窗函数族：最小偏差窗和正弦窗 $\{ \bf{v}^{(k)}\}$，其中 $v_n^{(k)}=\sqrt{\frac{2}{N+1}}\sin\frac{\pi kn}{N+1}$，$N$ 为点数。所得正弦多窗谱估计为 $\hat{S}(f)=\frac{1}{2K(N+1)} \sum_{j=1}^K |y(f+\frac{j}{2N+2}) -y(f-\frac{j}{2N+2})|^2$，其中 $y(f)$ 为平稳时间序列的傅里叶变换，$S(f)$ 为谱密度，$K$ 为窗函数个数。对固定的 $j$，正弦窗以 $1/N$ 的速率收敛于最小偏差窗。由于正弦窗具有解析表达式，无需数值特征值分解。最小偏差窗和正弦窗均无谱带宽的额外参数。第 $j$ 个窗的带宽简单地为 $\frac{1}{N}$，以频率 $\frac{\pm j}{2N+2}$ 为中心。因此多窗谱估计的带宽可通过简单地增减窗函数而在局部调整。最小偏差窗和正弦窗的带限谱集中度 $\int_{-w}^w |V(f)|^2 df$ 非常接近 Slepian 窗所达到的最优集中度。相比之下，Slepian 窗的局部偏差 $\int_{-1/2}^{1/2} f^2 |V(f)|^2 df$ 可能远大于最小偏差窗和正弦窗。