演化谱的最优数据驱动核估计

演化谱的复解调被表述为时频域中的二维核光滑器。第一阶段，计算锥形傅里叶变换 $y_{nu}(f,t)$。第二阶段，对对数谱估计 $\hat{\theta}_{\nu}(f,t) \equiv \ln(|y_{nu}(f,t)|^2$ 进行光滑。随着核光滑器特征宽度的增大，时域与频域平均带来的偏差增大而方差减小。解调参数，如谱锥度的阶数、长度与带宽以及核光滑器，由最小化期望误差确定。对于良好分辨的演化谱，最优锥度长度仅为最优核半宽的一小部分。谱窗的最优频率带宽 $w$ 满足 $w^2 \approx \lambda_F/ \tau$，其中 $\tau$ 为特征时间，$\lambda_F$ 为特征频率尺度长度。相比之下，第二阶段核光滑器的最优半宽满足 $h \approx 1/(\tau \lambda_F)^{1 \over ( p+2) }$，其中 $p$ 为核光滑器的阶数。最优频率半宽与最优时间半宽之比满足 $h_F / h_T ~ (|\partial_t ^p \theta | / |\partial_f^p \theta|)$。由于期望损失依赖于未知的演化谱，我们先用更高阶核光滑器估计 $|\partial_t^p \theta|^2$ 与 $|\partial_f^p \theta|^2$，再将估计的导数代入期望损失准则。