多元高斯位置混合估计的极小极大界

我们证明了在平方 $L^2$ 和平方 Hellinger 损失函数下，$\mathbb{R}^d$ 上高斯位置混合估计的极小极大界。在平方 $L^2$ 损失下，我们证明极小极大速率被一个常数倍的 $n^{-1}(\log n)^{d/2}$ 从上下两方面界定。在平方 Hellinger 损失下，我们基于混合测度尾部的性质考虑两个子类。当混合测度具有次高斯尾部时，平方 Hellinger 损失下的极小极大速率被 $(\log n)^{d}/n$ 从下方界定。另一方面，当仅假设混合测度对某个固定 $p > 0$ 具有有界 $p^{\text{th}}$ 矩时，平方 Hellinger 损失下的极小极大速率被 $n^{-p/(p+d)}(\log n)^{-3d/2}$ 从下方界定。这些速率在对数因子意义下是极小极大最优的。