稀疏高斯模型中p维线性泛函的极小极大估计及均值稳健估计

我们考虑高维高斯模型中的两个估计问题。第一个问题是在$n$个独立的$p$维高斯向量的均值大多为零的假设下，估计这些均值的一个线性泛函。我们证明，在平方欧氏范数下，估计的极小极大速率（直至对数因子）介于$(s^2\wedge n) + sp$与$(s^2\wedge np)+sp$之间。达到上界的估计量计算开销大，我们因而研究了组阈值估计量的适当版本，即便在维数和样本量极大时也能高效计算。该研究所揭示的一个有趣新现象是，与逐元素阈值相比，组阈值在速率上带来显著改进。具体而言，组阈值的速率为$s^2\sqrt{p}+sp$，而逐元素阈值的误差为$s^2p+sp$阶。据我们所知，这是首个已知的利用组结构带来速率多项式改进的设置。本工作研究的第二个问题是估计$n$个独立高斯向量中内点共同的$p$维均值。我们表明该问题与第一个问题有很强的类比性。利用这一类比，我们提出了新的稳健估计策略，这些策略在计算上易处理，且比文献中研究的其他计算上易处理的（针对数据中离群点存在的）稳健估计量具有更好的收敛速率。然而，这种可处理性在某些情形下以损失极小极大速率最优性为代价。