稀疏类上线性与二次泛函的极小极大估计

针对高斯序列模型，我们获得了稀疏向量类上线性、二次及 $L_2$-范数泛函估计的非渐近极小极大速率，并构造了达到这些速率的最优估计量。主要关注对象是 $s$-稀疏向量类，为此我们还提供了完全自适应的估计量（独立于 $s$ 和噪声方差），其速率仅比极小极大速率慢对数因子。此外，我们获得了 $L_q$-球（其中 $0 < q < 2$）上的极小极大速率。该分析表明，收敛速率通常存在三个区域，我们称之为稀疏区、稠密区和退化区，而在估计二次泛函时会出现第四个区域。我们指出，与向量估计相反，稀疏区最优速率中正确的对数项缩放为 $\log(d/s^2)$ 而非 $\log(d/s)$。对于稀疏类，线性泛函和 $L_2$-范数的估计速率在 $s = \sqrt{d}$ 处（稀疏区与稠密区的边界）呈现简单的肘部效应且表现相似，而二次泛函的估计则揭示了更复杂的效应，且仅基于向量稀疏性条件无法实现估计。最后，我们将关于 $L_2$-范数估计的结果应用于针对稀疏备择假设的检验问题。特别是，我们获得了 Ingster-Donoho-Jin 理论的非渐近类比，揭示了一些先前渐近分析未能捕捉到的效应。