重访 $\ell_p$ 球中的均值估计：最大似然估计是否最优？

我们重访高斯序列模型中对 $\ell_p$ 约束均值估计的问题，其中 $p \in [0, \infty]$。我们展示了最大似然估计（MLE）行为的两种现象，这些现象取决于噪声水平、约束半径、维度以及范数指数 $p$。首先，若 $p$ 位于 $0$ 与 $1 + \Theta(\tfrac{1}{\log d})$ 之间（包含），或 $p \geq 2$，则 MLE 在所有噪声水平和所有约束半径下均为 minimax 最优率。另一方面，对于剩余的范数指数——即 $p$ 位于 $1 + \Theta(\tfrac{1}{\log d})$ 与 $2$ 之间——表现更为显著：MLE 在几乎所有噪声水平和约束半径下（即在必要时用于 minimax 最优估计的非线性情况下）均为 minimax 率次优，尽管其在观察值上的非线性。我们的结果表明，当给定 $n$ 个独立同分布的高斯样本时，MLE 可能因样本大小的多项式因子而次优。我们的下界是构造性的：当 MLE 次优时，我们提供明确的实例，证明 MLE 在其上必然次优。最后，在非凸情况下（即 $p < 1$），我们发展了尖锐的局部高斯宽度界，这可能与其他问题无关。