星形约束下稳健次高斯均值估计的信息论极限

我们得到了在对抗性损坏数据设置下，具有高斯噪声的均值位置模型的极小极大速率，该模型受有界星形集 $K \subseteq \mathbb{R}^n$ 约束。我们假设 $N$ 个观测值中未知比例 $\epsilon \le 1/2-\kappa$（对于某个固定的 $\kappa\in(0,1/2]$）被任意损坏。在平方 $\ell_2$ 损失下，我们得到了一个与比例常数相关的极小极大风险，为 $\max(\eta^{*2},\sigma^2\epsilon^2)\wedge d^2$，其中 \begin{align*} \eta^* = \sup \bigg\{\eta \ge 0 : \frac{N\eta^2}{\sigma^2} \leq \log \mathcal{M}_K^{\operatorname{loc}}(\eta,c)\bigg\}, \end{align*} 这里 $\log \mathcal{M}_K^{\operatorname{loc}}(\eta,c)$ 表示集合 $K$ 的局部熵，$d$ 是 $K$ 的直径，$\sigma^2$ 是方差，$c$ 是某个足够大的绝对常数。我们算法的一个变体在已知或对称次高斯噪声设置下，以更小的、但仍为常数的崩溃点实现了相同的速率。我们进一步研究了未知次高斯噪声的情况，并表明速率稍慢：$\max(\eta^{*2},\sigma^2\epsilon^2\log(1/\epsilon))\wedge d^2$。我们将结果推广到 $K$ 是星形但无界的情况。