有界凸约束下高斯序列模型的最小最大速率

我们纯粹根据给定约束集 $K$ 的局部几何，确定了有界凸约束下高斯序列模型的精确最小最大速率。我们的主要结果表明，在平方 $\ell_2$ 损失下的最小最大风险（至多差常数因子）由 $\epsilon^{*2} \wedge \operatorname{diam}(K)^2$ 给出，其中 \begin{align*} \epsilon^* = \sup \bigg\{\epsilon : \frac{\epsilon^2}{\sigma^2} \leq \log M^{\operatorname{loc}}(\epsilon)\bigg\}, \end{align*} 这里 $\log M^{\operatorname{loc}}(\epsilon)$ 表示集合 $K$ 的局部熵，$\sigma^2$ 是噪声的方差。我们利用我们的抽象结果重新推导了某些特殊集合 $K$（如超矩形、椭圆以及更一般的二次凸正交集）的已知最小最大速率。最后，我们将结果推广到已知 $\sigma^2$ 的无界情形，表明该情形下的最小最大速率为 $\epsilon^{*2}$。