拓扑矩阵群与费马素数的极小性

我们的目的是研究某些自然矩阵群的拓扑极小性。我们证明特殊上三角群$SUT(n,\mathbb{F})$对每个特征$\neq 2$的局部域$\mathbb{F}$是极小的。这一结果对实数域$\mathbb{R}$也是新的，并导出若干重要推论。我们证明了特殊线性群$SL(n,\mathbb{F})$（其中$\mathbb{F}$为局部域的子域）的极小性与全极小性判据。这推广了Remus-Stoyanov (1991)与Bader-Gelander (2017)的已知结果。我们的一个主要应用是费马素数的刻画，断言对奇素数$p$以下条件等价：$\bullet$ $p$为费马素数；$\bullet$ $SL(p-1,\mathbb{Q})$是极小的，其中$\mathbb{Q}$为配备$p$-进拓扑的有理数域；$\bullet$ $SL(p-1,\mathbb{Q}(i))$是极小的，其中$\mathbb{Q}(i) \subset \mathbb{C}$为高斯有理数域。