Bolthausen-Sznitman 凝聚中的最小演化支大小

本文证明了当 $n\to\infty$ 时，Bolthausen-Sznitman $n$-凝聚中随机选取个体的最小演化支大小 $X_n$ 的分布与矩的渐近性质。Bolthausen-Sznitman $n$-凝聚是一个 Markov 过程，其状态取值为 $\left\{1,\ldots,n\right\}$ 的分拆集合，其中 $1,\ldots,n$ 称为个体。一个个体的最小演化支是指该个体在参与其首次凝聚事件时所处的等价类。\n所使用的主要工具是 Bolthausen-Sznitman $n$-凝聚与 Goldschmidt 和 Martin 引入的随机递归树之间的联系（见 \cite{goldschmidtmartin}）。这一联系表明 $X_n-1$ 的分布与最后一次凝聚事件发生前夕不在个体 1 的等价类中的所有个体数目 $M_n$ 相同。这两个泛函的分布均与具有 $n-1$ 个顾客的标准中餐馆过程中均匀选取的一张桌子的大小 $RT_{n-1}$ 相同。我们给出了这些分布的精确公式。\n利用 Goldschmidt 和 Martin 在 \cite{goldschmidtmartin} 中证明的 $M_n$ 的渐近性质，我们得到当 $n\to\infty$ 时，$(\log n)^{-1}\log X_n$ 依分布收敛到 [0,1] 上的均匀分布。\n我们补充证明了当 $n\to\infty$ 时 $\frac{\log n}{n^k}E(X_n^k)\to \frac{1}{k}$，这一结论对 $M_n$ 和 $RT_n$ 同样成立。