中间因子与 $\sigma$-回文 Dyck 字

给定实数 $\lambda > 1$，若 $d|n$ 满足 $$\sqrt{\frac{n}{\lambda}} < d \leq \sqrt{\lambda n},$$ 则称 $d|n$ 为 $n$ 的 $\lambda$-中间因子。我们将证明存在具有任意大数量 $\lambda$-中间因子的整数。考虑字 $$\langle\! \langle n \rangle\! \rangle_{\lambda} := w_1 w_2 ... w_k \in \{a,b\}^{\ast},$$ 其定义为 $$w_i := \left\{ \begin{array}{c l} a & \textrm{if } u_i \in D_n \backslash \left(\lambda D_n\right), \\ b & \textrm{if } u_i \in \left(\lambda D_n\right)\backslash D_n, \end{array} \right.$$ 其中 $D_n$ 是 $n$ 的因子集合，$\lambda D_n := \{\lambda d: \quad d \in D_n\}$，而 $u_1, u_2, ..., u_k$ 是对称差 $D_n \triangle \lambda D_n$ 中按递增顺序排列的元素。我们将证明语言 $$\mathcal{L}_{\lambda} := \left\{\langle\! \langle n \rangle\! \rangle_{\lambda}: \quad n \in \mathbb{Z}_{\geq 1} \right\}$$ 包含具有任意大数量中心隧道的 Dyck 字。我们将展示这两个结果之间的联系。