具有渐近平移与伸缩不变性的算子的微局部分析

在一类合适的非紧流形上，我们研究具有沿某一轴的渐近平移不变性，以及在该轴以外所有方向上关于伸缩的渐近伸缩不变性（或渐近齐次性）的（伪）微分算子。椭圆型例子包括零能量处的广义三体哈密顿量，如 $\Delta_x+V_0(x')+V(x)$，其中 $\Delta_x$ 是 $\mathbb{R}^n_x=\mathbb{R}^{n-1}_{x'}\times\mathbb{R}_{x''}$ 上的拉普拉斯算子，$V_0$ 与 $V$ 是至少具有反二次衰减的势：当 $|x'|\lesssim 1$ 时该算子在 $x''$ 中近似平移不变，当 $|x'|\gtrsim|x''|$ 时在 $(x',x'')$ 中关于伸缩近似为 $-2$ 次齐次。双曲型例子包括渐近平坦时空的非平稳扰动上的波算子。我们通过在底层流形的紧化 $M$ 上工作，引入了对这类算子进行（微局部）分析的系统框架。该分析基于一种伪微分算子演算，它融合了 Melrose 的 b-演算与 Vasy 的三体散射演算的元素。对于我们 3b-演算中完全椭圆的算子，我们构造了精确的拟逆，其 Schwartz 核是 $M\times M$ 的适当分辨上的多齐次余法分布。我们证明了此类算子在加权 Sobolev 空间尺度上的 Fredholm 性质，并表明其核与余核中的 tempered 元素在 $M$ 上具有完整的渐近展开。