Weil束的度量性与动力学

本文通过研究Weil束的度量性与动力学，桥接了合成微分几何与经典微分几何。在光滑紧致流形 $M$ 与Weil代数 $\mathbf{A}$ 的情况下，我们证明 $\mathbf{A}$-点的流形 $M^\mathbf{A}$ 承担着一个规范的、完整的、加权度量 $\mathfrak{d}_w$，该度量同时编码了基流形的几何结构与微小变形。关键结果包括：（1）度量化：$\mathfrak{d}_w$ 在 $M^\mathbf{A}$ 上诱导出完整的度量拓扑；（2）路径提升：从 $M$ 到 $M^\mathbf{A}$ 的曲线在保持拓扑不变量的同时实现提升；（3）动力学：关于 $M^\mathbf{A}$ 上diffeomorphism的固定点定理，关联到稳定性分析；（4）拓扑等价性：$H^*(M^\mathbf{A}) \cong H^*(M)$ 且 $\pi_\ast(M^\mathbf{A}) \cong \pi_\ast(M)$。