凸多面体的度量组合学：割迹与非重叠展开
度量几何
2007-05-23 v1 组合数学
摘要
本文研究任意维凸多胞形边界的组合学与其度量几何之间的相互作用。设 S 为维数 d+1 的凸多胞形的边界，或更一般地设 S 为一个“凸多面体伪流形”。我们证明 S 可多面体地非重叠展开到 R^d 中，因此度量空间 S 由 R^d 中一个闭（通常非凸）多面体球通过等距地识别边界面成对得到。我们的存在性证明利用了 S 中离源点 v 的测地线流，即从 v 处切空间到 S 的指数映射。我们将“割迹”（S 中有多于一条到 v 的最短路径的点的闭包）刻画为关于面上 Voronoi 图的多项式复形。分析 S 上距 v 为常数的点组成的波前的小膨胀，产生一种在每个面上构造 Voronoi 图从而展开 S 的算法方法。该算法我们给出了伪代码，解决了离散测地线问题。其主要构造推广了 3-多胞形边界到 R^2 的源展开。我们提出了关于凸多面体边界上最短路径数目以及凸多面体连续展开的猜想。我们也评论了非凸多面体流形的内在非多项式复杂性。
引用
@article{arxiv.math/0312253,
title = {Metric combinatorics of convex polyhedra: cut loci and nonoverlapping unfoldings},
author = {Ezra Miller and Igor Pak},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0312253},
year = {2007}
}
备注
47 pages; 21 PostScript (.eps) figures, most in color