描述 Lévy 过程的非经典边值问题中的 Mellin 与 Wiener-Hopf 算子

马尔可夫过程在整体欧几里得空间中发生的情况已被充分理解。然而，若马尔可夫过程被限制在有边界的区域内，情况则变得复杂得多，且令人满意的理论仅存在于具有连续轨迹的过程。这项针对非经典边值问题的研究，其动机在于研究被限制于区域内且可能具有不连续轨迹的随机过程。为使这一一般问题更易处理，我们考虑一个特定算子 $\mathcal{A}$，其被选为限制在正半轴上的某个稳定 Lévy 过程的生成元。我们能够将 $\mathcal{A}$ 表示为（超）奇异积分，并利用该表示推导出其在 Bessel 势空间之间有界性的简单条件。此外，由能量估计，我们证明在一定条件下 $\mathcal{A}$ 具有平凡核。本研究的一个核心特征是我们使用 Mellin 算子来处理在边界处结合并抵消的主导奇异项。事实上，经过大量分析，该问题被重新表述为作用于 Lebesgue 空间上的乘法、Wiener-Hopf 与 Mellin 算子代数语境。所得到的广义符号被考察，结果表明，某个涉及带复变量的 gamma 与三角函数的超越方程起着关键作用。在详细考量该超越方程后，我们能够确定算子何时为 Fredholm 算子，并在该情况下计算其指标。最后，结合关于核的信息与 Fredholm 指标，我们建立了 $\mathcal{A}$ 可逆性的精确条件。