均值对 Maja-Biello 系统扭结域上临界良好-posedness 的影响

本文研究了初始数据 $u_0$ 的均值如何影响以下 Maja-Biello 系统关于 local well-posedness 的 critical indices：$$\left\{\begin{aligned} & u_t + u_{xxx} + vv_x = 0 , \ & v_t + \alpha v_{xxx} + (uv)_x = 0 , \ & (u,v) \mid_{t=0} = (u_0, v_0) \in H^s(\mathbb{T}) \times H^s(\mathbb{T}), \end{aligned}\right. \qquad x \in \mathbb{T}, \, t\in \mathbb{R},$$其中 $\mathbb{T}$ 指周期扭结，分散系数 $\alpha$ 限制在 $(0,4] \setminus \{1\}$，对应共振情况。在零均值假设下，Oh (Int. Math. Res. Not., (18):3516-3556, 2009) 确定了 $u_0$ 的 Sobolev 正则性对 $C^3$ local well-posedness 的 critical indices $s^{*}(\alpha)$。特别地，Oh 表明 $$s^{*}(\alpha) = \left\{ \begin{array}{lll} 1, & \text{for $\sqrt{12/\alpha - 3} \in \mathbb{Q}$ }, \ \frac12, & \text{for a.e. $\alpha$ such that $\sqrt{12/\alpha - 3} \notin \mathbb{Q}$ }. \end{array}\right.$$在本文中，允许 $u_0$ 的均值为非零，我们发现当 $\sqrt{12/\alpha - 3} \in \mathbb{Q}$ 时，critical index $s^{*}(\alpha)$ 可从 $1$ 降至 $\frac12$。对于其他 $\alpha$ 值，除零测集外，我们也证明 $s^{*}(\alpha) = \frac12$，且 $u_0$ 均值无关紧要。通过从 $u_0$ 中减去均值，原始 Maja-Biello 系统稍微修改为包含一阶项，但初始数据为零均值。我们证明的关键要素是引入 refined Diophantine approximation theory 来捕捉这些额外一阶项引起的扰动离散结构的 essential resonance effect。