低阶项对 Majda-Biello 系统适定性的影响

本文研究了 Majda-Biello 系统框架内一个值得关注的现象，即引入低阶项可以增强系统的适定性。具体而言，我们研究以下系统的初值问题（IVP）：$$\left\{ \begin{array}{l} u_{t} + u_{xxx} = - v v_x, v_{t} + \alpha v_{xxx} + \beta v_x = - (uv)_{x}, (u,v)|_{t=0} = (u_0,v_0) \in H^{s}(\mathbb{R}) \times H^{s}(\mathbb{R}), \end{array} \right. \quad x \in \mathbb{R}, \, t \in \mathbb{R},$$ 其中 $\alpha \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ 且 $\beta \in \mathbb{R}$。设 $s^{*}(\alpha, \beta)$ 为使得当 $s > s^{}(\alpha, \beta)$ 时该 IVP 在 $H^{s}(\mathbb{R})\times H^{s}(\mathbb{R})$ 中局部解析适定的最小值。文献中已知两个有趣的事实：当 $\alpha \in (0,4)\setminus\{1\}$ 时 $s^{*}(\alpha, 0) = 0$，且 $s^*(4,0) = \frac34$。我们的主要发现如下：对于 $s^{*}(4,\beta)$，观察到显著降低，当 $\beta > 0$ 时降至 $\frac12$，当 $\beta < 0$ 时降至 $\frac14$。反之，当 $\alpha \neq 4$ 时，我们证明 $\beta$ 的值对 $s^*(\alpha, \beta)$ 没有影响。这些结果揭示了引入低阶项时 Majda-Biello 系统的有趣行为，并为 $\alpha$ 和 $\beta$ 在系统适定性中的作用提供了有价值的见解。