随机酉矩阵特征多项式的最大值

Fyodorov、Hiary和Keating最近猜想，从Haar测度中抽取的$N\times N$随机酉矩阵在单位圆上的特征多项式最大值，对于某个随机变量$C$，增长形如$CN/(\log N)^{3/4}$。在本文中，我们验证了该猜想的主阶，即我们证明以高概率该最大值位于区间$[N^{1 - \varepsilon},N^{1 + \varepsilon}]$内，其中$\varepsilon$可任意小。该方法基于在特征多项式的傅里叶分解中识别出一个近似分支随机游走，并使用了为描述分支随机游走及其他对数相关随机场的极值而开发的技术。一个关键的技术输入是带维度依赖符号的Toeplitz行列式的渐近分析。这些渐近性的原始论证遵循如下总体思想：$1/f$-噪声随机能量模型的统计力学由冻结相变所支配。我们还证明了随机酉矩阵自由能的猜想冻结现象。