一维硬核模型中的最大间隙

我们研究一维硬核模型中最大间隙大小的分布。首先，我们将长度为 $2$ 的杆随机顺序地装填到长度为 $L$ 的区间上，并满足杆不重叠的硬核约束。我们发现，在饱和装填中，以高概率相邻杆之间不存在大小为 $2 - o(1/L)$ 的间隙，但存在对所有 $\epsilon > 0$ 至少为 $2 - 1/L^{1-\epsilon}$ 的间隙。随后我们研究硬核过程的一个变体，即由 Torquato 和 Stillinger 引入的一维 ghost 硬核模型。在该模型中，我们将长度为 $2$ 的杆随机顺序地装填到长度为 $L$ 的区间上，使得已放置的杆既不与先前放置的杆也不与先前考虑过的候选杆重叠。我们发现，在无限时间极限下，以高概率相邻杆之间的最大间隙小于 $\log L$ 但对所有 $\epsilon > 0$ 至少为 $(\log L)^{1-\epsilon}$。