形变与 $L^{2}$-上同调中的极大刚性子代数

在过去二十年中,Sorin Popa 的突破性形变/刚性理论为 von Neumann 代数 $M$ 给出了显著的刚性结果:这些代数可通过作用 $\alpha: \mathbb{R} \to {\rm Aut}(\widetilde M)$ 在更大的代数 $\widetilde M \supseteq M$ 内发生形变,同时包含相对于该形变是{\it 刚性}的子代数 $Q$,即满足当 $t \to 0$ 时 $\alpha_t \to {\rm id}$ 在 $Q$ 的单位球上一致成立。然而,如何开发利用处于非指定相对位置的不同刚性子代数之间的相互作用,一直尚不明确。我们证明,事实上,任何相对于混合 s-可延展形变是刚性的扩散子代数,都包含在一个相对于刚性而言唯一极大的子代数中。特别地,由任意一族具有扩散交集的刚性子代数生成的代数,其自身必然相对于该形变是刚性的。该族有两个成员的情形是这项工作的动机,例如表明:若 $G$ 是满足 $\beta^{1}_{(2)}(G) > 0$ 的可数群,则 $L(G)$ 不能由两个具有扩散交集的性质 $(T)$ 子代数生成;然而,当该族为无限时,结果最为引人注目。