Horikawa 曲面上的 $\mathbb{Z}_3$-作用

满足 $K^2_X=2\chi(\mathcal{O}_X)-6$ 的极小一般型代数曲面 $X$ 称为 Horikawa 曲面。本文注记中研究了 Horikawa 曲面上的 $\mathbb{Z}_3$-作用。主要结果表明，给定可容许对 $(K^2, \chi)$ 使得 $K^2=2\chi-6$，Gieseker 模空间 $\mathfrak{M}_{K^2,\chi}$ 的所有连通分支均包含容许 $\mathbb{Z}_3$-作用的曲面。另一方面，所考虑的例示可生成不容许 $\mathbb{Q}$-Gorenstein 光滑化的正规稳定曲面。通过对每个满足 $K^2=2\chi-5$ 的可容许对 $(K^2, \chi)$，在 Gieseker 模空间 $\mathfrak{M}_{K^2,\chi}$ 的 KSBA 紧化 $\overline{\mathfrak{M}}_{K^2,\chi}$ 中构造不可光滑化的正规曲面，说明了这一点。此外，所构造的曲面属于 $\overline{\mathfrak{M}}_{K^2,\chi}$ 中无典则模型的连通分支。