关于具有小 $c_1 ^2$ 的一般型曲面的双曲性

Bogomolov 的结果表明，具有正第二 Segre 数 $s_2:=c_1^2-c_2>0$ 的一般型曲面是准双曲的，即仅包含有限条有理曲线和椭圆曲线。McQuillan 在其对此类曲面上整条曲线的 Green-Griffiths 猜想的证明中扩展了这些结果。在本工作中，我们研究了具有最小 $c_1^2$ 的一般型极小曲面（称为 Horikawa 曲面）的双曲性质。原则上，正如 $\bP^3$ 中的五次曲面所示，这些曲面应是上述猜想最困难的情形。利用轨形技术，我们展示了 Horikawa 曲面模空间的无穷多个不可约分支，其非常一般成员不含任何有理曲线，甚至是代数双曲的。此外，我们构造了代数双曲和（准）双曲轨形 Horikawa 曲面的显式例子。