通过斯蒂弗尔丛的等变截面进行质量划分

我们考虑一个与某些球空间形式的几何拓扑自然相关的几何组合问题。给定 $\mathbb{R}^n$ 上的 $m$ 个质量分布，在许多情况下，存在 $k$ 个仿射无关的正则 $q$-扇，每个扇均分每个测度，这一结论可以从 $\mathbb{Z}_q$-等变截面的存在性推导出来，该截面是 $S(\mathbb{F}^n)$ 上的斯蒂弗尔丛 $V_k(\mathbb{F}^n)$ 的截面，其中 $V_k(\mathbb{F}^n)$ 是 $\mathbb{F}^n$ 中所有正交 $k$-标架的斯蒂弗尔流形，$\mathbb{F} = \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，而 $S(\mathbb{F}^n)$ 是对应的单位球面。例如，当 $n = 2,4$ 或 $8$ 时，$\mathbb{R}P^n$ 的平行化意味着 $\mathbb{R}^n$ 上的任意两个质量可以被 $(n-1)$ 个两两正交的超平面同时平分；而当 $q=3$ 或 4 时，标准透镜空间 $L^3(q)$ 上的圆丛 $V_2(\mathbb{C}^2)/\mathbb{Z}_q$ 的平凡性则意味着对于 $\mathbb{R}^4$ 上的任意质量，存在一对复正交的正则 $q$-扇，每个扇均分该质量。