变换与不确定性：关于量子概率论、量子统计和自然丛的一些思考

本博士论文涉及量子概率论中的不确定性关系、量子随机学中的状态估计以及微分几何中的自然丛。在讨论了开放系统中退相干的性质和必要性以及封闭系统中退相干的缺失之后，我们证明了反映海森堡原理、退相干的必要性以及完美联合测量不可能性的尖锐、状态无关的不等式。这些界限用于判断特定测量与最优测量之间的差距。我们针对一个与量子化电磁场相互作用、并使用零差检测持续探测的量子比特进行了这一分析。我们计算了这种联合测量的最优程度。然后，我们提出了一种两步策略来确定n个相同制备的量子比特的（可能混合的）状态，并利用量子比特的“量子局部渐近正态性”证明该策略在局部极小极大意义上是渐近最优的。我们提出了一种基于与量子化电磁场相互作用的量子局部渐近正态性的物理实现方案。在微分几何中，如果底流形的微分同胚可以提升为丛的自同构，则该丛被称为“自然丛”。我们将这一概念略微扩展为“无穷小自然性”，仅要求向量场（无穷小微分同胚）可以提升。我们对这些丛进行了分类。在（无穷小）时空变换下变换的物理场必须用（无穷小）自然丛来描述。所有旋量结构都是无穷小自然的。因此，我们的框架涵盖了费米子场，而自然丛的概念对于费米子场来说过于严格。有趣的是，广义旋量结构（例如spin-c结构）并不总是无穷小自然的。我们对那些是无穷小自然的结构进行了分类。根据所考虑的规范群，这可以显著减少允许的时空拓扑数量。