通过 Tverberg 分割和 Gale 对偶的扇分布

等分布理论始于经典的哈密尔顿三明治定理，旨在通过 ℝᵈ 的预定几何分割所确定的全维区域，对 ℝᵈ 中的有限点集进行公平划分。本文研究由预定的低维子集对 ℝᵈ 中有限点集的等分布。我们的主要结果表明，若 r ≥ 3 是素数幂，则对于 ℝᵈ 中足够小的点集 X 的任何 m 着色，存在一个 ℝᵈ 中的 r 扇——即由 r 个余维为 r−2 的“半平面”组成的并集，这些半平面围绕一个余维为 r−1 的仿射子空间——该扇能捕获 X 中的所有点，使得每个半平面包含每种颜色类中至多 r 分之一 的点。当 m ≥ 2 时，我们所需的点数在本质上是紧的。此外，我们将等分布结果推广到“穿刺”分布，类似于 Dol'nikov 对超平面横截的推广。与近期 Frick 等人的工作类似，我们的结果通过将 Gale 对偶应用于拓扑 Tverberg 型定理的线性情形获得。最后，我们将分布结果扩展到多个 r 扇，基于 Sarkaria 的拓扑 Tverberg 型定理的多重交集版本。