子空间中的火腿三明治割与中心横截

火腿三明治定理是几何中一个著名的结果。它指出 $\mathbb{R}^d$ 中的任意 $d$ 个质量分布可被一个超平面同时平分。该结果是紧的，即存在 $d+1$ 个质量分布无法被单个超平面同时平分的例子。在本摘要中，我们将研究以下问题：给定质量分布到 $\mathbb{R}^d$ 某些子集的连续指派，是否存在一个子集使得我们可平分比火腿三明治定理所保证的更多质量？我们研究两类子集。第一类是 $\mathbb{R}^d$ 的线性子空间，即包含原点的 $k$ 维平面。我们证明，对于任意将 $d$ 个质量分布连续指派到 $\mathbb{R}^d$ 的 $k$ 维线性子空间，总存在一个子空间可在其上同时平分所有 $d$ 个指派的图像。我们将此结果推广到中心横截——火腿三明治割的一种推广。如同火腿三明治割，我们进一步证明对于 $d-k+2$ 个质量，我们可选择定义解所在 $k$ 维子空间的 $k-1$ 个向量。我们考虑的第二类子集是由 $\mathbb{R}^d$ 中 $n$ 个超平面族所确定的子集。同样在此情形下，我们找到了一个火腿三明治型结果。在尝试解决 Langerman 关于多割平分的一个猜想时，我们表明我们的基础拓扑结果可用于在放宽设定下证明该猜想。